Ecuaciones

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Vienen dadas por binomios de primer grado en una variable, x. Son, pues, de la forma ax + b = 0 siendo a y b dos números reales cualesquiera, y x, la incógnita.

Veamos algunos ejemplos: Hallar un número que, sumado con 10, dé 24.

Llamamos x al número que queremos calcular. Vamos a escribir el enunciado del problema utilizando signos matemáticos. En esto consiste el planteamiento de una ecuación. En nuestro caso, debemos hallar un número, x, que, sumado con 10, dé 24; es decir, un número x tal que:

ésta es la ecuación que representa al problema anterior. Pero, ¿cuál es ese número? Lógicamente es el número 14, pues:

14 + 10 = 24

x = 14 es la solución de la ecuación y también del problema. Y, ¿cómo hemos calculado x = 14?

Sabes que si sumamos o restamos una misma cantidad a los dos miembros de una igualdad, la igualdad subsiste, y como una ecuación no es más que una igualdad:

(con las mismas soluciones) por lo que podemos restar 10 a los dos miembros de la ecuación anterior:

x + 10 − 10 = 24 − 10

x + 0 = 14

Llamamos miembro de una ecuación a cada una de las partes en que queda dividida la ecuación por el signo =. La parte anterior al signo = se llama primer miembro, y, la posterior es el segundo miembro. A su vez cada miembro se divide en partes separadas por los signos + o – ; cada una de estas partes se llama término.

En nuestro caso x es un término, 10 otro, x + 10 es el primer miembro y 24 es el segundo miembro, el cual tiene aquí un sólo término: 24.

Así, pues, resolver una ecuación es despejar la incógnita, es decir, es calcular los valores de la variable que satisfacen la ecuación.

Veamos más ejemplos:

El doble de un número es 50, ¿cuál es ese número?

el doble de 3 es 6 = 2 · 3

el doble de 7 es 14 = 2 · 7

Si llamamos x al número que queremos calcular, el doble de x será 2 · x y el problema nos dice que el doble de ese número es 50, luego:

2x = 50

es la ecuación que representa nuestro problema.

Como siempre, debemos despejar la x, debemos dejar la x sola en un miembro; y, para ello, aplicamos la siguiente propiedad:

Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una igualdad por un número, la igualdad no varía. Y como una ecuación no es más que una igualdad para sus soluciones, podemos decir:

En nuestro caso, como queremos dejar la x sola en un miembro, y en la ecuación está multiplicada por 2, debemos dividir por 2 los dos miembros de la ecuación:

Luego: